1.1 公设1：希尔伯特空间（Hilbert space）#
任意封闭物理系统都具有一个相关联的具有內积结构的复向量空间（希尔伯特空间），称为量子态空间 \(\mathcal{H}\) 。整个系统的物理性质完全由此空间中的向量来描述，称为态向量 \(\vert\psi\rangle\) 。
说明：
在量子力学中，通常使用狄拉克符号（Dirac notation） \(|\cdot \rangle\) 来表示希尔伯特空间\(\mathcal{H}\)中的向量，读作“ket”。
数学上，我们可以用一个复向量簇（Ray）来表示量子态。这里，\(|\psi\rangle\) 所在的向量簇指代任意向量\(|\psi'\rangle = C|\psi\rangle, C\in \mathbb{C}, C\neq 0\)，这些向量在物理上都是等价的。量子态代表物理系统的一种状态，例如具有某个特定的能量，动量，角动量等。我们可能听说过量子力学的叠加性原理（例如著名的薛定谔的猫）。 具体来说，对任意两个量子态\(|u\rangle,|v\rangle \in \mathcal{H}\), \(|u\rangle + |v\rangle \in \mathcal{H}\)，即系统可以“同时”处于多种状态。
在我们关心的量子计算领域，\(\mathcal{H}\)维数是有限的(设为\(N\))，那么我们可以选取一组线性无关的向量\(\{|\phi_i\rangle\}=\{|\phi_i\rangle|i=0,\cdots,N-1\}\)作为基向量（basis，例如日常的三维空间在\(x\),\(y\),\(z\)方向的三个单位向量\(\{e_x, e_y,e_z\}\)即为一组基向量）。\(\mathcal{H}\)中的任意量子态都可以用这组基线性展开：
\[|\psi\rangle = \sum_i c_i |\phi_i\rangle, \quad c_i \in \mathbb{C}，\forall i\]
这组基向量也称为完备基。方便起见，在这组基向量下，我们可以将\(|\psi\rangle\)表示成：
\[|\psi \rangle \cong (c_0, c_2,\cdots, c_{N-1})^T, \quad\]
称为\(|\psi\rangle\)在\(\{|\phi\rangle\}_i\)下的表示。这里的展开系数\(c_i\)称为几率幅，\(T\)代表向量和矩阵的转置。这就是我们所熟悉\(n\)维复数向量（列向量）。
正如在欧几里得空间可以定义向量內积一样，我们也可以定义希尔伯特空间的向量內积。我们可以定义\(|v\rangle\) 的对偶向量 \(\langle v|\)（\(\langle\cdot|\) 称为“bra”)。这样我们就有
\[|v\rangle \cong (v_0, \cdots, v_{N-1})^T, \quad \langle v| \cong (v_0^*, \cdots, v_{N-1}^*)。\]
使用Dirac notation方便的原因之一是我们可以将内积表示为“braket”:
\[\langle v|w\rangle = \sum_{i,j=0}^{N-1} v_i^* w_j \langle\phi_i|\phi_j \rangle。\]
可以看出，內积是一种线性算运算，且满足\(\langle u|v\rangle=\langle v|u\rangle^*\)和\(\langle v|v \rangle\geq 0\)。有了內积的概念，我们就可以定义向量的长度：\(\|v \|_2 = \sqrt{\sum_{i=0}^{N-1} |v_i|^2} = \sqrt{\langle v|v\rangle}\)。我们称长度为1的向量为单位长度向量。在接下来的讨论中，我们默认描述系统的量子态的长度为1。至此，我们对\(N\)维希尔伯特空间有
\[\mathcal{H}\cong \mathbb{C}^N。\]
如果两个向量\(|v\rangle,|w\rangle\) 满足 \(\langle w |v \rangle = 0\), 则我们称这两个向量是正交的。如果我们选定一组基\(\{|i\rangle|i=0,\cdots,N-1\}\), 满足
\[\begin{split}\langle j | i\rangle = \delta_{ij} =
\begin{cases}
& 1, \quad i = j\\
& 0, \quad i\neq j\\
\end{cases},\end{split}\]
且\(\|i\|_2=1, \forall i\), 那么这组基称为正交归一。如不明确说明，接下来我们都将使用正交归一基。这样\(|\psi\rangle\)就可以表示为:
\[|\psi\rangle = \sum_i \psi_i |i\rangle \cong（\psi_0,\cdots, \psi_{N-1})^T, \quad \psi_i \in \mathbb{C}，\quad \sum_i |\psi_i|^2 = 1。\]
例子：考虑一个二维系统\(\mathcal{H}\cong \mathbb{C}^2\)，定义两个基向量为\(|0\rangle\)和\(|1\rangle\)。这样任意量子态可以表示为
\[|\psi\rangle = \alpha|0\rangle+\beta|1\rangle,\quad |\alpha|^2+|\beta|^2 =1,\]
其中\(\alpha,\beta\)都是复数。
在正交归一基下，任意两个向量 \(|u\rangle\)，\(|v\rangle\) 的內积可以简化为：
\[\begin{split}\langle v|w\rangle = (v_0^*, \cdots, v_{N-1}^*)\left(
\begin{array}{c}
w_0 \\
\vdots \\
w_{N-1}\\
\end{array}
\right) = \sum_j v^*_jw_j\end{split}\]
类似地，我们可以定义两个向量之间的外积及其在基\(\{|j\rangle\}\)下的表示：
\[\begin{split}|v\rangle \langle w| \cong \left(
\begin{array}{c}
v_0 \\
\vdots \\
v_{N-1}\\
\end{array}
\right) (w_0^*, \cdots, w_{N-1}^*) = \left(
\begin{array}{ccc}
v_0w_0^* & \ldots & v_0w_{N-1}^* \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
v_{N-1}w^*_0 & \ldots & v_{N-1}w^*_{N-1}\\
\end{array}
\right)。\end{split}\]
注意，与內积不同，外积是一个作用在\(\mathcal{H}\)上的算子（矩阵）。